450 BERGER, DE BERNOULLISKA TALENS OCH FUNKTIONERNAS TEORI. 



Låta vi nu m betyda ett helt positivt tal och sätta vi koef- 

 ficienterna för v m i serieutvecklingarne (111) och (112) lika med 

 hvarandra, så erhålla vi för < z < 1 formeln 



É=oo 



(113) g ) (z, m )=-B(m)-/i l (z,m)-—— i 



TflV» / ~ k m 



På grund af funktionens /u(z,m) betydelse erhålla vi här af 

 följande teorem. 



Te or em X. Om m är ett helt positivt tal hvilket som 

 hälst, och z en reel qvantitet, som uppfyller vilkoren 



0<£<1, 

 så är 



\ \ "'l gllcTXzi i / ] \mg— Iknzi 



TV ' v J (2m) m / j k m 



A- = l 



för v 'm^>2 gäller denna formel äfven för z = och för z = K 



Om vi med n beteckna ett helt positivt tal, så erhålles af 

 detta teorem formeln 



/I1/n , ,, 0/0 ,, , 2(-l)" V^sin 2km 



(114) <f (z,2n-l) = ~B(2n-lry+^^ 1 2j- ¥ ^ r 



hvilken gäller för 



0<z< 1, 

 om n = 1 , samt för 



o<z<:i, 



om w>2, samt formeln 



£=co 



cos 2km 



2(— 1>V^( 

 (115) <K*, 2n) = - B(2n) ^f^ 



tfn 



k = i 



hvilken gäller för 



0<*<1, 

 om n ^> 1 . 



Om vi i formeln i teorem X sätta z = O, så erhålles med 

 användning af eqv. (19) följande teorem. 





