456 BERGER, DE BERNOULLISKA TALENS OCH FUNKTIONERNAS TEORI. 



§8. 



Om k är en reel qvantitet och f(z) en funktion af z, h vilken, 

 jämte sina derivator är ändlig och kontinuerlig från och med 

 z = h till och med z = h + 1 , och om vi på likheten 



(144) ~{q(z, r + l)/ +1 (/< + *)j = <?(*, r + l)f + %h + z) 



+ cp'(z,r + l)/' +1 (/i + z), 



der r är ett helt positivt tal eller noll, använda eqv. (5), så: 

 erhålles 



(145) i {y(,, r + l)f+\h + *)} = 5(r)/^i(Ä + 0) 



+ y(£, r + 1)/ V+2 (A + 8) + cp(2, r)f+\h + z). 



Om vi förlänga denna likhet med ( — 1)'' samt integrera 

 båda membra i afseende på z mellan gränserna z = och s = 1 , 

 så erhålles enligt eqv. (19) 



(146) (— l/y(l, r + iy«(Ä + l)^(—l)'JB(r)^(A + l)-^(A>}' 



1 



- (— 1)' +1 JV(^, r + l)/\+*(Ä + *>fcr 



o 

 1 



+ i-iyj(p(^r)f' + \h + z)dz, 

 o 



hvilken formel gäller för r^>0, om vi använda beteckningen 



/V) =/(*)■ 



Om vi nu med m förstå ett helt positivt tal, och sätta i 

 eqv. (146) r successive lika med 



0, 1, 2,...m— 1, 

 och addera de sålunda erhållna likheterna, så finna vi enligt 

 eqv. (18), (20), (21) • 



t = m — 1 



(147) f(h + 1) =^j- iys(py{f(h + i)-f(h)} 



1 

 — (— \) m jcp(z, m)f m+1 (h + z)dz 



