458 BERGER, DE BERNOULLISKA TALENS OCH FUNKTIONERNAS TEORI. 



Antaga vi nu, att funktionen f(z) och dess derivator äro 

 ändliga och kontinuerliga från och med s = till och med z = k, 

 der k är ett helt positivt tal, och sätta vi i eqv. (152) 



h = 0, 1, 2,... k — 1, 



samt addera de sålunda erhållna likheterna, så finna vi 



h = k — 1 ?•=»> 



(153) 2y'(A) =^3^)!./ v (^-./ v (0)} 



* 



(2/n) m y v y / / s m 



J >^i 



o 



livarmed följande teorem är bevisadt. 



Te or em XII. Om k och ni äro två hela positiva tal, och 

 om f(z) är en funktion af z, som jämte sina m + 1 första deri- 

 vator är ändlig och kontinuerlig från och med z = till och 

 med z — k, så är 



A = k — 1 r = m 



^JW =2j*kr)\fW -f(9)\ 



k 



(2tm) to I-' v > / j s m 



o 

 Emedan qvantiteten 



plsilzi i / 1 \m fi —1snzi 



( _ l)m£ + l , L) - 6 - 



är innesluten mellan gränserna 2 och — 2, så är för m ^> 2 



/ 1 lm\ i nlsnzi t Z' 1 V"* o — 24'Jtzi \ i 1 



(154) W^-> ^ — -1— = 2ö!> -4» 



der — 1 < 6j ^ 1 , och alltså är enligt det föregående teoremet 



