ÖPVERS1GT AF K. VETENSK.-AKAD. FÖRHANDLINGAR 1888, N:0 7. 459 

 h = k — 1 r = n> 



(155) ^yt*) ^^^wf/w -/"(°)} 



;• = () 



s = l 



Antaga vi nu, att funktionen f(z) liar den egenskapen, att 

 derivatan f m+1 (z) behåller samma tecken mellan z = och z = k, 

 så är 



k k 



(156) f»J*+l(ß)dB = 6 2 ff™ + \z)dz = *{/»(*) -/"'(O)} , 

 o o 



der d 2 , som är ett medelvärde af qvantiteterna e l , satisfierar 



olikheterna 



— 1 < e 2 < 1 , 



och af eqv. (155) och (156) följer 



h = k — 1 r=m 



(157) Yjf(h) =^jB(r)[fr(k) - /(O)} 



/ m (0), 



+<^'Y^ Ank) -* m 





Låta vi nu n betyda ett helt positivt tal, och sätta i eqv. (157) 



ra = 2«, 6. 2 = ( — l) n 6, 

 så finna vi med användning af eqv. (116) 



h = k — 1 r=2ra 



(158) ^T/w =^/o-M/ r (*) -/'(°)} 



-6B(2n){fn(k)-p\0)}, 



der — 1 < 8 < 1 , och h vilken formel gäller, om f 2n+1 (z) ej än- 

 drar tecken mellan z = O och z = k. 



Antaga vi nu dessutom, att derivatorna/ 2n+2 (^) och/ 2,i+3 (^) 

 äro ändliga och kontinuerliga, och att f 2n+3 (z) ej ändrar tecken 

 mellan z = och z = k, så kunna vi i eqv. (158) ersätta n med 

 n + 1 , och vi finna då 



