460 BERGER, DE BERNOULLISKA TALENS OCH FUNKTIONERNAS TEORI. 

 h = k — 1 7-=2n + 2 



(159) 2Jjfi h ) =^B(r){f(k) -f(0)} 



— ^5(2/1 + 2) j/ 2 »+ 2 (Ä;) — / 2ft+2 (0)} , 

 der — 1 < ö, < 1 , och alltså 



h = k — 1 ?' = 2ra 



(160) ^T/(Ä) = jT 5(r){/'(T) -/(0)} 



A=0 r=0 



+ (1—0^(2« + 2){/ 2 «+ 2 (Ä;) — /2»+»(0)}-, 



och af eqv. (158) och (160) följer 



(161) — eB(2n){f n (k) — / 2 "(0)} 



= (1 - 0-B(2n + 2){/ 2 *+ 2 (£) -/ 2 »+ 2 (0)}. 



Emedan enligt eqv. (116) talen B(2n) och B(2n + 2) ha 

 motsatta tecken, så följer af eqv. (161), om vi med P beteckna 

 en positiv qvantitet, 



(162) »{/*»(*) — / 2n (0)} = P{f' 2n+2 (k) — / 2 * +2 (0)} • 



Vi skilja nu följande två fall: 



1) Om derivatorna f 2n+l (z) och f 2n+3 (z) ha samma tecken 

 mellan z = och z = k, så måste funktionerna f 2n {z) och/ 2n+2 (^) 

 samtidigt växa eller samtidigt aftaga från ,0 — till z —■ k, och 

 alltså ha differenserna 



f n ( k ) — / 2 "(°)> f 2n+ Kh) —f 2n+2 {0) 

 samma tecken, och af eqv. (162) följer då 



(163) e > ; 



emedan 6 ligger mellan — 1 och 1, så erhålles häraf 



(164) 0<«<1. 



2) Om derivatorna / 2n+1 (^) och f 2n+ \z) ha motsatta tecken 

 mellan z — och z = k, så växer den ena af funktionerna 

 f 2n {z) och f 2n+ '\z) från z = till z = k, under det att den 

 andra aftager, och följaktligen ha differenserna 



f 2n (k) — / 2 "(0), f 2n+2 (k) — / 2n+2 (0) 

 motsatta tecken, och af eqv. (162) erhålles 



