ÖFVERSIGT AF K. VETENSK.-AKAI). FÖRHANDLINGAR 1888, N:0 7. 461 



(165) < O, 



och alltså, emedan b ligger mellan — 1 och 1 , 



(166) — 1<0<O. 



Af denna undersökning framgår följande teorem. 



Teorem XIII. Om k och n äro två hela positiva tal, och 

 om f{z) är en funktion af z, som jämte sina 2n+ 1 första deri- 

 vator är ändlig och kontinuerlig från och med 2 = till och 

 med z = k, och om f 2n+1 (z) ej ändrar tecken inom detta om- 

 råde så är 



E /,(/ ° = Z* (r)l 



Ol/ 1 -^) -/"(0)j 



-0£(2 w ){/ 2 »(&)-/ 2 »(O)}, 



der ö är en qvantitet, som satisfierar olikheterna 



— 1<0< l; 



om funktionen /(#), förutom de ofvan angifna bestämningarne, 

 äfven har de egenskaperna, att derivatorna / 2w+2 (^) och f 2n+s (z) 

 äro ändliga och kontinuerliga från och med z = till och med 

 z = k, samt att / 2m+3 (#) ej ändrar tecken inom detta område, 

 så är 



O<0< 1, 

 om derivatorna f 2n+l (z) och / 2n+3 (/) ha samma tecken, men 



— 1<0<O, 



om dessa derivator ha motsatta tecken inom det nämnda om- 

 rådet. 



