466 MÖLLER, DIE SINGULARE LÖSUNG EINER PART. DIFF. -GLEICH. 



Setzen wir kurz 



(y'q' — z')f\ — x'q% + x'f z = A , 



—y'p'fi + W — z ')fi + y'f* = B ^ 



können wir diese Gleichungen in der Form 



(1) 



#2 



Ar' + Bs' + \_{x'p' — z');\ + y'p'fs]-^ = 

 As' + Bf + [x'q'f, + {y'q' - z')/ 5 W - 



schreiben. Für / 4 = 0, f. — ist also 



Ar' + Bs' --= 

 ^ As' + Bt' = 



woraus folgt 



r't' = s'\ 



Dies bedeutet aber das Vorhandensein eines parabolischen Punktes 

 oder einer stationären Tangentenebene. Die ursprünglichen Flächen 

 haben also stationäre Punkte. 



Hierbei bemerken wir jedoch gleich, dass nicht ein jeder 

 Punkt in der Curve, wo (F) irgend eine /-Fläche schneidet, ein 

 Rückkehrpunkt eben dieser /-Fläche ist, sondern nur solche, wo 

 wirklich die Bedingungen (/ 4 ) und (/-) erfüllt sind. 



3. Die Differentialgleichung 



2 a- 2 — 2z —j) 2 + q- = 



giebt ein Beispiel des vor. Art. Aus 



/ 4 = -2p = 

 / 5 = 2<Z = 



ergiebt sich als die Gleichung (F) 



z = x 2 . 

 Ein Integral ist 

 \2x i + (y — a) 2 — 2z] 3 = [_2x* + Sx(y — a) n - — 6xz + bj- 

 wo a und b arbiträre Constanten sind. Wir wählen eine von 

 diesen Integralflächen aus und differentiiren um diejenigen Punkte 

 zu finden, wo die Bedingungen (/ 4 ) und (/.) erfüllt sind. Dies 

 geschieht, wenn 



