468 MÖLLER, DIE SINGULARE LÖSUNG EINER PART. DIFF. -GLEICH. 



beiden Gleichungen (1) daselbst r und f durch s ausdrückt und 



dann in r't' = s- einsetzt, erhält man 



(1) (AC + BD)*' + CD = 0, 



wenn C und D die von >', s' und t' unabhängigen Glieder der 



beiden genannten Gleichungen bedeuten. Für ein beliebiges 



Werthsystem von x', y', z', p und q' giebt es also, da eine der 



Grössen r', s' und t' willkührlich gewählt werden kann, unter 



den Reciprokalflächen immer solche, welche parabolische Punkte 



haben; es sind aber nur diejenigen Flächen, deren Werth von 



s' der Gleichung (1) genügt. 



Für ein beliebiges Werthsystem von x, y, z, p und q giebt 

 es folglich im allgemeinen unter den f -Flächen stets solche, welche 

 Cuspi dalpunkte haben. 



Wenn aber / 4 = 0, /. = 0, ist r't' = s" 2 , wie auch s' gewählt 

 wird. Für ein solches Werthsystem von sc., y, z, p und q haben 

 daher alle /-Flächen einen Cuspidalpunkt, welche auch also z. B. 

 die Form des Integrales sei. 



Wir schliessen dies mit folgender Bemerkung ab. Wenn 

 wir irgend eine der Reciprokalflächen auswählen und durch 

 Differentiirung die Werthe von |>', q und s ableiten und in die 

 Gleichung (1) einführen, repräsentirt diese eine andere Fläche, 

 die die Curve der parabolischen Punkte der ersten ausschneidet. 

 Hieraus darf man den Schluss ziehen, dass die /-Flächen im 

 allgemeinen Cuspidalkanten besitzen, von denen zwar nach dem 

 vorigen nur einzelne Punkte in (F) liegen. 



5. Damit die Gleichungen (2) in Art. 2 zur Bedingung 

 r't' = s" 2 

 führen, dürfen die Grössen A und B daselbst nicht verschwinden. 

 Wir werden jetzt den Fall in Betracht ziehen, wo auf einmal 



A = (y'q' — z ')f\ — * l( i'fi + x 'h = ° 

 b = -y'p'A + O'/ - 0/ 2 + y'h = °- 



Transformirt man diese Gleichungen in zwei andere durch suc- 



x' ?/' 



cessive Elimination von /!, und f, und statt r und — ' L , 



J - • l z z 



wieder p und q einführt, erhält man 



