ÖFVERSIGT AF K. VETENSK.-AKAD. FÖRHANDLINGAR 1888, N:0 7. 469 



A + hp - 



also eben die Bedingungen (*S) des Art. 1, welche erfüllt werden 

 müssten, damit (F) singulare Lösung sei; wenn dies stattfindet, 

 ist bekanntlich die geometrische Bedeutung von (F), dass die- 

 selbe Enveloppe der /-Flächen ist. 



Beisp. 



2z +J9 2 — 9 2 =0. 



Hier sind für 



A= %> = <> 



die Bedingungen (S) erfüllt. 



(F) e = 



ist singulare Lösung. Dies bestätigt sich aus 

 2z = (y — a)' 1 — O — b)* 

 ein System Integralflächen. Im Punkte (b, a, 0), wo (/' 4 ) und 

 (/'s) befriedigt sind, ist eben z — Tangentenebene. 



6. Man darf hier nicht die Umkehrung machen, dass, wenn 

 die Gleichungen (S) erfüllt sind, (F) nothwendig singulare Lö- 

 sung ist, und zwar nicht wenn diese Gleichungen in der Weise 

 erfüllt sind, dass die Functionen f\ , /, und f 3 jede für sich 

 verschwiuden. In diesem Falle werden nämlich nicht p Q und q 

 durch die Gleichungen des Art. 1 bestimmt und brauchen also 

 nicht mit p und q zusammenfallen. 



In der That kann es noch einen Umstand geben, der das 



Verschwinden von f^ und f. bewirkt. Wenn 



(cp) <f(x,y,2,a,b):=0 



ein System /-Flächen ist, Avird man finden, dass (/,) und (/ 5 ) 



in denjenigen Punkten befriedigt sind, wo zwei von diesen Flächen 



einander berühren. Wir beweisen dies leicht. Zu diesem Zweck 



suchen wir die Bedingung, unter welcher in einem Punkte (x, y, z) 



eine solche Berührung stattfindet. Aus (<jp) ergiebt sich durch 



Differentiirung 



(^ Ti + <P3P=Ö 



q 2 + (f 3 q = 0. 



