470 MÖLLER, DIE SINGULARE LÖSUNG EINER PART. DIFF. -GLEICH . 



Da wir nun (,r, y, z) fixirt haben und vermöge der Gleichung 

 (rp) die eine von den Grössen a und b, es sei z. B. b, durch 

 die andere ausgedrückt werden kann, sind also in (1) nur drei 

 Yariabele übrig, a, p und q. Sollen nun zwei Flächen einander 

 berühren, müssen einem Werthsystem ' von p und q, das mit 

 (p l , (/ x ) bezeichnet sei, zwei verschiedene Werthe von a ent- 

 sprechen. Fassen wir (1) als eine Raumcurve auf, deren Coor- 

 dinaten a, p und q sind, hat also diese Curve, von dem unend- 

 lich entfernten Punkte der a-Axe gesehen, für (p l 9,) einen 

 scheinbaren Doppelpunkt, und also die Projection der Curve auf 

 die |?^-Ebene einen wirklichen. Um die erwünschte Bedingung 

 zu erreichen hat man also a zu eliminiren und die partiellen 

 Ableitungen in Bezug auf p und q zu bilden, die verschwinden 

 müssen. Man findet aber gleich, dass dies zu (/ 4 ) und (/ 5 ) 

 leitet, weil ja (/) eben in der Weise entsteht, dass man a und 

 b aus ((f) und (1) eliminirt. 



Ferner ersieht man leicht, dass im fraglichen Falle 

 (2) /, =0, f i= 0, / 3 = 0. 



Es müssen nämlich die Functionen A und B in Art. 2 ver- 

 schwinden, weil man sonst zu r'f = s' 2 käme; also sind auch die 

 Gleichungen (S) befriedigt (vgl. Art. 5). Nun ist aber die Er- 

 füllung der Gleichungen (2) die einzige Weise, worauf dies mög- 

 lich ist, mindestens wenn p und q fin i t sind, ohne dass p =-p, 

 q Q = q wird, was hier nicht der Fall ist. 



7. Nichts hindert doch, dass, obgleich 



/, = , / 2 = , / 3 = 



sind, p — p und q — q sein können. In solchem Falle ist (F) 

 wieder singulare Lösung oder sogar particuläres Integral, d. h. 

 eine der /-Flächen selbst. Es wäre nicht schwer die Relationen 

 herzuleiten, die da gelten müssen ; es sei aber hierbei hinreichend 

 zu bemerken, dass man sich durch Differentiirung von (F) über- 

 zeugen kann, ob p = p , q = q. 



8. Es wurde im Art. 1 angenommen, dass 



Ja - 1 Ad ^ ^ 



