472 MÖLLER, DIE SINGULARE LÖSUNG EINER PART. DIFF. -GLEICH. 



(1) 



Hier ergiebt 



sich 



M 



- 4* — £? - 



(h) 



Man erhält also 

 (F) 







9 — x = , 

 xi, = . 



Die Bedingungen (S) sind nicht erfüllt. Es hat also (F) die 

 allgemeine Bedeutung (Art. 2): sie bestimmt Cuspidalpunkte in 

 den /-Flächen. 



Wir prüfen es am Integrale 



O + af- — 2xy(z + a) + bx 1 = . 

 Man findet, dass eine jede dieser Flächen zwei stationäre Punkte 

 hat, nämlich in 



x — O , y = + ]/b , z = — a , 

 wo in der That (/ 4 ) und (/ 5 ) erfüllt sind. 



Wenn man in dem Integrale statt b beliebige Functionen 

 von a setzt, in Bezug auf a differentiirt und dann a eliminirt, 

 erhält man bekanntlich neue Integrale. Macht man z. B. b = — a% 

 erhält man auf diese Weise 



t*—2ayz + tfi = 0. 

 Diese Fläche hat in (+ 1, 0, 0) stationäre Punkte. 



(2) pq + xp + yq — z = 0.-) 

 (U) q + x = 



geben 



(F) z + xy = 0. 



Hier findet man (S) befriedigt; (F) ist singulare Lösung. 

 Ein Integral ist 



z = ax + by + ab , 

 eben die Tangentenebenen der Fläche (F). 



(3) 4.^(1 + p 2 + ffi _ ( x + zp y Ü o , 



(/ 4 ) (^-z^)p-xz = 



■Jfi) ? = <>• 



') Boole, a. a. 0., Ch. XIV, Ex. 23. 

 2 ) Boole, a. a. O., Ex. 18. 



