ÖFVERSIGT AF K. VETENSK.-AKAD. FÖKH AND LINGAR 1888, N:0 8. 525 



Durch diese Gleichung ist A(x) für alle in und auf dem Ein- 



n 



heitskreise liegenden Punkte gegeben. Eine Erweiterung lässt 

 sich erreichen durch eine einfache Formel, welche für die Tran- 

 scendenten ^l(x) aller Ordnungen gilt und die sich sehr leicht in 



n 



folgender Weise ableiten lässt: 



*,(.) = !f!T^ ; ±M = ( _ i)»J^£_ . 



dx n y i+x dx n \xJ ' x(l + x) 



d[ , ■ , ,. il\l \g n ~ x x 



5 [^> +( _i).^-)j=i_ T . 



Es folgt somit durch Integration sofort: 



/*(*) + ( — l') Ä ^(-\ = - lg" x + C . 



n n \x] U 



Für ungerade Werthe von n folgt sofort, dass die Integrations- 

 konstante C => ist. Es genügt,'« = 1 zu setzen, um diess so- 

 gleich einzusehen. Für gerade Werthe von n ergibt sich, indem 

 wir x = 1 setzen und ~2n an Stelle von n schreiben: C = 2^(1). 

 Der Werth von y1{\) folgt aus Gleichung (1): 



2n 



,,(!) = _ ( 2n-l)!V(-iy--i-L. 



2« ^ m ^^ / ' v 



v = l 



V — ta 



(— \y— 1 ~ lässt sich bekanntlich durch Ber- 

 NOULLl'sche Zahlen und durch n ausdrücken. Es ist nämlich 

 \ A i 2 2 "- 1 1 



wo B n die n:te BERNOüLLi'sche Zahl bedeutet. Es wird daher 



— i _ 

 lln 



2'2«-l_l 





und 



i\\ i 2 2 " ~ T 1 



