588 BJÖRLING, SINGULARE GENERATRICEN IN ALGEBK. REGELFLÄCHEN. 



ist bekanntlich immer r'(a) ■ (j'(o) = (/(a) ' s '( a )? un & die Grösse 

 (2) von der dritten Ordnung. 



Es giebt aber in windschiefen Flächen verschiedene Arten 

 singulare! Gener atricen, die im folgenden untersucht werden. Die 

 einfachste unter ihnen, diselbe welche hier als »Elementar-Torsale» 

 bezeichnet wird und wovon in der That alle übrigen als zusam- 

 mengesetzt betrachtet werden können, scheint bisher, fast einzig 

 beachtet worden sein. Die Anzahl solcher Generatricen in einer 

 Regelfläche von der Ordnung k und dem Geschlechte p ist, nach 

 Lüroth l ), = 2k + 4(p — 1 ). 



Einige Bemerkungen, betreffend ebene Curven, werden vor- 

 ausgesandt. 



1. Indices eines algebraischen Curvenpunktes. 



§ 2. Die Punktcoordinaten x, y, z einer ebenen Curve seien 

 rational ausgedrückt in einem Parameter a, kurz 



1 <K«) *K«) /(«) 



wo cp, <//, f ganze Funktionen sind 2 ). Jedem a-Werthe ent- 

 spricht dann ein Curvenpunkt, und umgekehrt; jedem Doppel- 

 punkte zwei verschiedene «-Werthe. Die Parameterwerthe deV 

 Schnittpunkte der Curve mit der Geraden 



(4) tx + uy + vs = 

 ergeben sich aus der Gleichung 



(5) f (f(a) + utp(a) + vf(a) = 0. 



Ein solcher Punkt fällt mit seinem nächstfolgenden zusam- 

 men, wenn zugleich 



(6) t<p'( a ) + uif/(a) + rf'(a) = 



ist; die Gerade (4) ist dann Tangente, insofern nicht 



') Borchardts Journal, Bd. 67, S. 139. 



2 ) Vgl. Clebsch, Über Curven, deren Coordinaten rationale Funktionen eines 

 Parameters sind. Borchardts Journ., Bd. 64, S. 43. 



