ÖFVERSIGT AF K. VETENSK.-AKAD. FÖRHANDLINGAR 1888. N.O 10. 589 



In diesem letzten Falle schneidet jede durch den betreffenden 

 Punkt gehende Gerade die Curve in zwei zusammenfallenden 

 Punkten, und diese hat also da einen Rückkehrpunkt oder Spitze. 

 Jeder die beiden Gleichungen (7) erfüllende a-Werth giebt folg- 

 lich einen solchen. 



§ 3. Wenn nun 



(8) (f(a) = Ma m + M x a m + l + M 2 cx m+2 + . . . , 



(9) ifj( a ) = Na* + .V ltt " +1 + iV 2 a' l+2 + . . ., 



(10) /(«) =P +P l u + P,« 2 +..., 



wo n > m, und M, N, P (wie immer im folgenden) nicht Null 

 vorausgesetzt werden, so geht die Curve für a = durch den 

 Anfangspunkt 0, hat mit ihrer Tangente y = eine n-Punkts- 

 berührung und schneidet jede andere durch gezogene Gerade 

 in m Punkten. Die Singularität des betreffenden Curvenzweiges 

 in enthält m — 1 Rückkehrpunkte, denn die Gleichungen (7) 

 lassen m — 1 Lösungen « = zu 1 )- 



Der Curvenzweig kann, Avie man leicht findet, in vier 

 verschiedene Formen darbieten, jenachdem 



I:o) m ungerade, n gerade (Parabel-Typus), 



2:o) m und n ungerade (Inflexions-Typus), 



3:o) m gerade, n ungerade (Spitz-Typus erster Art), 



4:o) m und n gerade ( » » zweiter » ). 



Die Anzahlen der Glieder und die Grade der Funktionen 

 rf, ip, f haben auf sämmtliche diese Resultate keinen Einfluss; 

 dieselben behalten also ihre Gültigkeit, auch wenn diese Funk- 

 tionen unendliche convergirende Dignitätsreihen sind. 



Nach den beiden Zahlen m, n — »dem ersten (kleineren) 

 und zweiten (grösseren) Index des Punktes Ö» — ■ benennen wir 

 denselben einen (m, n)-Punkt. Ein (1, 2)-Punkt ist also ein 



') Dieser Satz ist, unsereswissens, zuerst von A. Cayley (On the higher siii- 

 gularities of a plane curve. Quarterly Journal of ]\Iathematics; Vol. VIT) 

 ausgesprochen. 



