590 BJORLING, SINGULARE GENER ATRICEN IN ALGEBR. REGELELÄCHEN. 



gewöhnlicher, nicht singulärer 1 ); ein (2, 3)-Punkt eine Spitze, ein 

 (1,3)-Punkt eine Inflexion. 



Wenn die Gleichung einer Curve gegeben ist, kann man be- 

 kanntlich eine, in endlicher Umgebung eines gegebenen ihrer 

 Punkte gültige, Entwickelung von y nach steigenden, ganzen oder 

 gebrochenen Potenzen von x erhalten, wenn man in diesen 

 Punkt verlegt und die Tangente des betreffenden Curvenzweiges 

 zur #-Axe nimmt; nämlich 



?! n + 1 n + 2 



(11) y = N({x))™ + Nj ( (x))~^ + N 2 ((x) j 1 ™ + • • • 

 Wir setzen dann x = ä" 1 , also 



(12) y = Na n + N lC t n + l + i\ 2 « n+2 + . . . 



Eine Reihe dieser letzten Form, die entweder endlich ist 

 oder unendlich, aber dann in endlicher Umgebung des Werthes 

 a = convergirend, und deren erster Coefficient N nicht Null 

 ist, wird im folgenden, der Kürze wegen, mit (AV ! ) bezeichnet. 



§ 4. C und C seien zwei, einander eindeutig entsprechende 

 ebene Curven, deren Coordinaten wenigstens in endlicher Um- 

 gebung des Anfangspunktes in Dignitätsreihen von zwei Para- 

 metern a und 8 ausgedrückt werden können, also 



(13) x = (Aa m ), y = (Ba"), (> = 1) 



(14) x = (Clin, y = (Üß v ), 0' = !)• 



Da die zwei Parameter «, ß einander eindeutig entsprechen, 

 muss zwischen ihnen eine, in endlicher Umgebung des Null- 

 punktes gültige, Relation von der Form 



(15) ß = Nu + A> 2 + A 7 2 « 3 + . . . 



bestehen. Durch Einsetzung dieses Ausdrucks für fi in (14) er- 

 hält man Entwickelungen von der Form 



(16) x = (Ea(*), y' = (Fa v ), (>' = 1); 



') Womit natürlich nicht ausgeschlossen ist, dass durch denselben Punkt der 

 Ebene ein anderer Zweig derselben Curve, wozu ein anderer «-Werth und 

 andere «-Entwicklung gehören, gehen kann. 



