596 BJÖRLING, SINGULARE GENERATRICEN IN ALGEBR. REGELFLÄCHEN. 



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a) h — giebt (m + l, n)-Punkt (l > 0), wo die Tangente 



nicht-torsal (d. h. nicht in der Torsalebene liegend) sein kann ; 



b) h — — -^ giebt (m, n + fc)-Punkt (k > 0), wo die Tangente 



immer torsal ist. 



Den ersten Punkt bezeichnen wir im folgenden mit c, , den 

 zweiten mit r 2 . Beide fallen zusammen für AD — BC. 



In einem ordinären Punkte und in r 2 hat die betreffende 

 Schnittcurve m — 1 Spitzen für x=y = 0; in t x kommen, wie- 

 man sieht, eine oder mehrere »Extra-Spitzen» dazu 1 ). 



3) Nach (19) ist der Abstand 



C32) J = + (M>-BC)«* + ... 



J ~ VA*+ka + ... ' 



also im allgemeinen von der n:ten Ordnung, von höherer aber, 

 wenn die beiden singulären Punkte t 1 , t 2 zusammenfallen. 



4) Schnitt mit der Ebene (20): Aus (21) ergiebt sich 



_ l{Ba m ) — (D a*) 

 Z ~ (Ca n ) — l(Aa m ) ' 



also für a = 



wenn l = 0, nach Verkürzung mit a n , z = — -~ , 



B 

 » l Z^ , » » » a m , z = — — : 



also: Schneidet man die Fläche mit einer Ebene durch die Tor- 

 sale, wird diese Gerade n oder m mal ausgestossen, jenachdera 

 die Ebene torsal ist oder nicht. Die Restcurce geht im ersten 

 Falle durch t 2 , im zweiten durch i l . 

 Aus (21) erhält man auch 



Wa*) 2 + (Ca") 2 * 

 X ~ ± (Ca n ) — X(Aa m ) ' ' 



') Der r,-Punkt ist in der Thal; derjenige, wo die Torsale »von der nächst- 

 folgenden Generatrix getroffen wird»; der r 2 -Punkt der Schnittpunkt der 

 Torsale mit der von den folgenden Generatricen in der Torsalebene be- 

 schriebenen Curve. 



