ÖFVERSIGT AF K. VETENSK.-AKAD. FÖRHANDLINGAR 188 8, N:0 10. 599 



solchem Falle sagen wir, dass der Rang »extra-ordinär» ist 

 — n — m 4-n 1 ). 



Nehmen wir statt E' (w — 0) eine andere Ebene E" durch 

 L (es sei z = hw), folglich statt C eine Curve C" 



x y 



, = 7— — = w • 



hv + s fiQ + a 



so wird, nach dem Zusammenfallen der Ebenen, die Anzahl der 

 ÜTZ-Punkte angegeben von der Ordnung der unendlich kleinen 



Grösse ,, . p-^, also dieselbe wie voraus, mit Ausnahme des 



s (hr + s ) 



einzigen Falles, da (hr' + s') von höherer Ordnung als r ist, 



d. h. wenn die Ebene E" durch den Zj-Punkt geht. 



§ 13. Eine (1, 2)-Torsale, deren t, und r 2 getrennt sind, 

 und deren Rang also eins ist, benennen wir eine Elementar- 

 Torsale, kurz eine X- Die Indices ihrer ebenen Schnittcurve 



in % Y sind also (1 + k) und 2, 

 » r 2 » » 1 und (2 + 1), 



wo k, l ganze positive Zahlen sind. In jedem Falle hat also die 

 erste Curve eine einzige Spitze in Tj. 



') Der Rang giebt in der That an, wie vielfach das Tangentenjiaar T, T' ist, 

 vom Ä'-Punkte, als in der Geraden L liegend, gezogen. Der Grad dieser 

 Vielfachheit ist natürlich im allgemeinen = die Ordnungszahl dieser beiden 

 Tangenten = der erste Index der Curve K im betreffenden Punkte; wenn 

 aber diese Curve die Gerade L berührt, kann der Rang höhere Werthe er- 

 reichen. 



Ein einfaches Beispiel aus dem dualistisch entsprechenden Gebiete er- 

 hellt dieses Verhältniss. In einer Ebene seien gegeben zwei piojektivische 

 gerade Systeme von Punkten P, P'; die Gerade PP' einhüllt bekanntlich einen 

 Kegelschnitt; ihr Berührungspunkt mit demselben sei B. In dieser Geraden 

 liegt natürlich im allgemeinen ein einziges Paar entsprechender Punkte P, P '; 

 in derselben aber, als von B aus gezogen, liegen derer zwei, da nämlich die 

 Gerade selbst in solchem Falle als doppelt zu betrachten ist. 



Es sei auch im Vorbeigehen hier bemerkt, dass der extra-ordinäre Über- 

 schuss ti des Ranges einer (m, ?a)-Torsale über dem normalen Betrage (n — m) 

 keineswegs immer derselbe ist als derjenige der Ordnung der unendlich 

 kleinen Grösse d (32) über ihrem normalen Betrage n. Solches gilt freilich 

 für jt = 1, aber nicht weiter, da der Rang und der Abstand J in der That 

 von verschiedenen Grössen (g's' — r'a' und os — ro) abhangen. 



