600 BJÖRLING, SINGULARE GENERATRICEN IN ALGEBR. REGELFLÄCHEN. 



Wenn nun E, E' in getrennter Lage angenommen werden, 

 ist es, nach § 10, für die Entstehung einer solchen Elementar- 

 Torsale die nothwendige und hinreichende Bedingung 



entweder dass P, P' ordinäre (1, 2)-Punkte sind, deren Tan- 

 genten einander in L treffen, und zwar so, dass nach dem Zu- 

 sammenfallen der beiden Ebenen der entsprechende /TL-Punkt 

 einfach wird; 



oder dass der eine der Punkte P, P' ordinär ist, der andere 

 eine einzige Spitze enthält, und ihre Tangenten einander in L 

 nicht treuen. 



§ 14. Die ganze BZ-Anzahl r einer Regelfiäche von der 

 Ordnung k und dem Geschlechte p kann hieraus berechnet wer- 

 den. Die Ordnung der Doppelcurve der Fläche sei b, also 



(33) (k—l)(k — 2) = 2(p + b). 



Die zwei ebenen Schnitte der Fläche sind von der Ordnung 

 k; die Anzahlen (ö + y). {& + *') ihrer Doppelpunkte und Spit- 

 zen = b; ihre Klassen v, v also 



k(k — 1 ) — 2b — x, k(k — 1) — 2b — *'. 



Lässt man die Ebenen der Curven zusammenfallen, wird die 

 Ordnung der Curve K, also auch die Anzahl ihrer Schnittpunkte 

 mit L == v + v '= 



(34) 2k(k — [) — 4b — (x + •/). 



Alle diese Schnittpunkte erzeugen aber nicht Torsalen. Auf 

 L treffen nämlich C, C einander in k entsprechenden Punkten ; 

 in jedem von diesen hat K eine Spitze. Denn da sowohl T als 

 T in einem solchen Punkte als doppelte Tangente zu betrachten 

 ist, wird K daselbst von jeder von diesen zwei verschiedenen 

 Geraden in zwei zusammenfallenden Punkten getroffen. Von 

 der Zahl (34) muss also 2k abgezogen werden. 



An der anderen Seite müssen dazu die Anzahlen x, x der 

 Spitzen — von denen jede einer X Ursprung giebt — addirt 

 werden; man findet also 



(35) x = 2B — U — 4b ; 



oder, nach Elimination von b zwischen (33) und (35), 



