ÖFVERSIGT AF K. VETENSK.-AKAD. FÖRHANDLINGAR 1888, N:Ö 10. 601 



(Vgl. Lüroth, 1. c. in § 1). 



§ 15. Alle übrigen singulare!) Generatricen können, wie 

 wir nun zeigen werden, als von X zusammengesetzt betrachtet 

 werden. Wir beginnen mit den nieht-torsalen. 



Eine m-G verbindet, wie oben (§ 10) gezeigt ist, zwei 

 Punkte P, P' (einen in jeder Ebene E, E'), deren erster Index 

 m ist, und von denen jeder also m — 1 Spitzen enthält. Wären 

 diese 2(m — 1) Spitzen an verschiedenen Punkten vertheilt, von 

 denen jeder einem ordinären (1, 2)-Punkte in der anderen Curve 

 entspräche, so würden in dieser Weise ebensoviele $£ entstehen. 

 Es ergiebt sich also: Eine m-G ist mit 2(m — 1) Elementar- 

 Torsalen eqvivalent. 



§ 1,6. Wir behandeln nun die Erage: Mit wie vielen $£ ist 

 eine (m, n)-Torsale vom Range R === n — m + n eqvivalent? 

 Diese Zahl sei hier mit i' bezeichnet. 



Wir nehmen zuerst an, dass die beiden, die Regelfläche 

 schneidenden Ebenen E, E' die (m, »)-Torsale in zwei ordinären 

 Punkten P, P' treffen (keine in r, ). Jeder von diesen Punkten 

 enthält m — 1 Spitzen. Beim Zusammenfallen der Ebenen be- 

 kommt die Curve K im entsprechenden Punkte in L so viele 

 Punkte, als die Ordnung der unendlich kleinen Grösse (c) in § 

 11; also hier (n — m -f n) Punkte. Jeder für sich von diesen 

 und ebenso jede für sicli der 2{m — 1) Spitzen würde eine %, 

 geben; es folgt also 

 .(36) %' = R + 2(m — 1) = m +n + n — 2. 



Dasselbe Resultat kommt hervor, wenn man statt E' eine 

 andere Schnittebene E" nimmt, welche durch den Punkt i x geht. 

 Die Coordinaten der in dieser Weise gebildeten ebenen Schnitt- 

 curve seien hr + s, ho + o von den Ordnungen m + l, n + k in 

 a. Für 

 l:o) in + l < n + k hat C" m + l--l Spitzen (also / »Extrü- 



Spitzen» (§9)) in r l , und torsale Tangente; 

 2:o) m + l~>n + k hat C" n + k — 1 Spitzen (also n — m + k 



Extra-Spitzen) in t 1 , und nicht-torsale Tangente. 



Öfversigt af K. Vet.-Akad. Förh. Arg. 45. N:o 10. 2 



