602 IMÖlilJNG, SINGULARE GENERATRICEN IN ALGEBR. REGELFLÄCHEN. 



Wir untersuchen jeden Fall für sich. 



In dem ersten hat die Curve C, wie früher, m — 1 Spitzen 

 in P, C" m + l — 1 Spitzen in ij . Wir fällen die Ebenen E, E" 

 zusammen; der Ort des Schnittpunktes entsprechender Tangenten 

 der Curyen C, C" sei K'. Da diese Tangenten in P und r, ein- 

 ander in L treffen, bekommt K' daselbst eine Anzahl Punkte 

 R', angegeben (§ 12) von der Ordjmng der unendlich kleinen 



Grosse , ., , -— . Also ist 



s (hr + s ) 



(37) R' = R — l = n — m + 7i — l, 



denn R ist ja die Ordnung der Grösse (c) (§ 11), und die Ord- 

 nung von (hr + s) ist / Einheiten grösser als diejenige von r. 

 Die Eqvivalenzzahl % soll nun die Summe der beiden Spitzen- 

 zahlen und R' sein, also 



%' = (m — 1 ) + (m + l — 1) + (n — m + n — l) , 

 was mit (36) übereinstimmt. 



Der Satz (37) kann folgendermassen ausgedrückt werden: 

 Die Verminderung der Anzahl der KL-Punkte, welche da- 

 durch entsteht, dass man die Schnittebene durch i 1 statt durch 

 einen ordinären Punkt der Torsale legt, ist eben so gross als die 

 Anzahl der Extra- Spitzen in x l . 



Im .zweiten Falle entstehen beim Zusammenfallen der Ebenen 

 keine ifZ-Punkte, da die Tangenten der Curven C, C" in P, r, 



t ■ ■, <v ^x- ,-, .. hio's' — r'a') , 



einander in L nicht treffen. Die Grosse , ,, , -^- verscnwin- 



s (hr + s ) 



det nicht für a = 0; R' ist = 0. 



Sei erstens m+l =n+ k. C" hat m + l — 1 Spitzen in 

 f 1 (also L Extra-Spitzen; der Satz (37) gilt also auch hier), 

 C m — 1 in P; man hat also 



x' — (m + l— 1) + (m — 1) = 2(iw — 1) + l , 

 was mit (36) übereinstimmt, da R = l ist. 



Ist dagegen m + l > n + k, hat man nur statt x = eine 

 andere Ebene Ax + B/j = zur Co ordin at-Ebene zu nehmen, 

 um diesen Fall zum vorigen zurückzuführen. 



Die Gleichung (36) ist also für jeden Fall bewiesen. 



