{.t 



fj. — 



1 





u — 



-vi + 1 , n 

 m 



+ 



1 



2 





,m 



"(1 



— 



ni 



+ 1- 





•) 



— 207 

 tp(fi) = 1 + ~ z + . . . + 



(X jx — m 



+ T " " ' ^T+T 



De m + 1 första termerna äro alla positiva och koefficienten fram- 

 för parenthesen är också positiv. Hvad serien inom parenthe- 

 sen beträffar, så äro dess termer aftagande och af omvexlande 

 tecken. Det är bekant, att summan af en sådan serie är belä- 

 gen emellan summorna af de n första och de n + 1 första ter- 

 merna. Men första termen är här 1, och summan af de två 

 första termerna är också positiv. Serien inom parenthesen är 

 således en pos. qvant. och följaktligen är (f(j-i) positiv. 



Aro både z och /u negativa, och är z 1 num. val. af z och 

 [å x af ju, så blir 



och då alla termerna i serien här äro positiva, så är följaktligen 

 äfven (f(ju) positiv. 



Hvad slutligen beträffar de båda sista fallen, då z och /u, 

 äro af olika tecken, så skilja de sig från de föregående endast 

 genom tecknet för ju. Men af eqv. (8) inses, att (p{/Li) och 

 (f{— jli) hafva samma tecken, och således är (f{ji) äfven i dessa 

 fall positiv. 



För alla reela värden på 0, som göra serien w(f,c) konver- 

 gent, utgöres således summan af denna serie af det värde å 

 ((1 + £))*", som är reelt och positivt, d. v. s. af (1 + z)**. 



Vi vilja nu öfvergå till den händelsen, att z är imaginärt, 



och vi skola finna, att formeln (3) oförändrad gäller äfven för 



imag. värden å z, som göra serien konvergent. 



Lemma. En serie, som fortgår efter liela positiva och stigande po- 

 tenser af en imaginär variabel z, är en kontinuerlig funktion 

 af z för alla värden på z, för hvilka den är konvergent. 



Man finner denna sats bevisad i Briot et BouauE'r's 

 Theorie des Functions doublenient périodiques, Paris 1859, 

 pag. 15, och för korthetens skull vilja vi dit hänvisa. 



