— 208 — 



Nu inses ock, att alla värdena å ((l-fs))^ måste utgöra 

 kontinuerliga funktioner af z för alla värden af denna variabel, 

 hvilkas modul är mindre än 1, emedan binomen 1 + z icke för 

 något af dessa värden på z kan blifva oändlig eller lika med 

 noll. Men för alla värden på z med undantag af z = — 1 äro 

 värdena å ((1 +£))■" olika och differera sinsemellan på ändliga 

 qvantiteter. En öfvergång från ett af dessa värden till ett annat 

 kan följaktligen icke äga rum utan afbrott i kontinuiteten, och 

 då serien (piji) är kontinuerlig i afseende på z, så ofta som den 

 är konvergent, så måste dess summa städse utgöras af ett och 

 samma värde bland dem, som tillkomma ((1 +£))'"'. Då vi i 

 det föregående hafva funnit, att detta värde, om z är reelt, ut- 

 göres af (1 + z) f \ så är följaktligen detta händelsen, äfven om 

 z är imaginärt, och formeln (3) är således gällande för alla reela 

 värden på /u och alla värden på z, hvilkas modul är mindre än 1. 



4. Det är bekant, att om oj är en reel qvant. hvilken som helst, 

 hvars num. valör obegränsadt tillväxer, så närmar sig uttrycket 



till en viss finit gräns. Det är tydligt, att då med ofvanstående 



uttryck menas principala w-potensen af ( 1 H \ så måste denna 



gräns vara ett reelt positivt tal. Betecknas den såsom brukligt 

 med e, så är derföre 



lim fl + —V = e 



Ar nu y en reel qvant, som är num. mindre än oj, så är 

 1 + — en reel pos. qvant. och således 



In'' 



o o"-o* a 



=[04)1 



