212 — 



(10) l • z = lim 



8 



1 



å 



hvilken formel är gällande för alla reela pos. värden å z. 



Anm. Med anförandet af ofvanstående deduktion vilja vi endast på- 

 peka, att der förekommande logarithm och potens begge äro 

 principala. 



Vi vilja nu visa, att de begge vigtiga formlerna (9) och (10) 

 äfven äro gällande för imaginära värden å y och negativa eller 

 imaginära värden å z. 



Ar neml. y = u + vi, sa följer såsom bekant af den ofvan 

 fastställda definitionen å é\ att 



e v __ e » + vi __ e i ( cos y _|_ ^ sj n v y 



Ar nu vidare p modulen och & principal-argumentet för (1 H — Y 



så är 



(y\ ( ° f-, u v .\ B 

 1 + -) = N +.- + -t) 

 (Ü/ \ CO MS 



— ^ W (cos oo& + i sin cod) 

 der 



/, 2m u 2 + v 2 \l 



p = ri +- + — ■— y 



Samt då 1 -| > o 



& — arctg 



1 + 



i 



Anm. Ofvanstående kalkul finnes utförd i Schlömilchs Handbuch 

 der algebraischen Analysis p. 214. Vi hafva endast för sam- 

 manhangets skull upprepat densamma. 



När mim. valören för co obegränsadt tillväxer, konvergerar ex- 

 pressionen 



2u u 2 + v 2 



CO OJ 2 



mot noll. Beteckna vi derföre korteligen denna expression med 

 — -, der num. valören af co 1 obegränsadt tillväxer på samma 



CO 1 o i 



gäng som num, val af co, så blir 



