— 297 — 





+ a it ^2» C 3' ~ a H ^3' C 2i ~ a 2> ^1» C 3» 

 + «3> &l» C 2, + a 2> ^3> C H - «3> K C V 



Sedermera skrifvas indices uti hvar och en af dessa termer 

 efter indices till alla termerne, hvarvid om två termer hafva 

 samma tecken resultatet blifver plus, men minus af motsatta 

 tecken. T. ex. af ~ a l3 b 3 , c 2 och a 3 , b v c 2 erhållas "termerne 

 — a 13 b 31 c 22 och — a 31 b 12 c 22 . Härigenom erhåller man tyd- 

 ligen alla de permutationer af indices, hvilka i determinanterne 

 kunna förekomma. Antalet termer uti en kubisk determinant af 

 fe:te graden blifver (1 . 2 . . . (n — 1) . n) 2 , hälften positiva, hälften 

 negativa. T. ex. af andra graden 





(a, 



9 



1,1 



1,2 



2,1 



2,2 



— a l,\ ^2,2 a l,2 ^2,1 a 2,\ ^1,2 "I" ^2,2 ^1,1' 



Enligt det sista af de i (1) angifna beteckningssätten, inne- 

 hållas alla de elementer, hvilka stå i samma vertikalkolumn, uti 

 samma vertikala qvadrat. Afvenså äro alla de med a betecknade 

 elementerne i en mot den förra vinkelrät qvadrat, äfvenså de 

 med b, c., betecknade. Man kan nu finna följande theorem: 



Om uti en kubisk determinant elementerne uti tvenne verti- 

 kalkolumner utbytas mot hvarandra, bibehåller determinanten 

 samma numeriska värde, men förändrar tecken (2). 





T. ex. 



(a, b) 





(a, 



6) 



1,1 1,2 





1,2 



1,1 



2,1 2,2 





2,2 



1,2 



Ty i allmänhet, om A n är en kub. determinent af n:te graden, 

 och z/ 1 ,, det värde som uppkommer, när man utbyter tvenne be- 

 stämda kolumner mot hvarandra, t. ex. kolumnerne <j och s; så 

 är, om man betraktar en term i den första kub. determinanten 

 såsom + a u , 6 , , c r s . . . och en efter läget motsvarande i /J l n , 

 blifver denna ± a„ , b c r . . . Men samma term måste före- 

 komma äfven i zl it , ehuru den der har motsatt tecken, såsom 

 uppkommande genom en permutation af de sista indices. Man 



