— 298 



(a, b) 





U 1,2 





2,1 2,2 





finner sålunda, att samma termer förekomma i båda de kub. 

 determinanterne med motsatta tecken, hvarat 



Om deremot man utbyter de, enligt det antagna betecknings- 

 sättet, med samma bokstaf betecknade elementerne, hvilka inne- 

 hållas i en vertikal qvadrat med de motsvarande i en annan der- 

 med parallel qvadrat, förändras den kubiska determinanten hvar- 

 ken till sitt numeriska värde eller tecken (3). 



T. ex. ! (a, b) i (b, a) j 



1,1 1,2 



2,1 2,2 1 



Beteckna i allmänhet den gifna kub. determinanten med z/„, 

 och med Zl l n den som uppkommer, när tvenne bokstäfver t. ex. 

 b och c utbytas mot hvarandra. Omedelbart inses, att båda de 

 kub. determinanterne måste innehålla samma termer. Om nu en 

 sådan term i zJ n är + a uv b c r . . , blifver den efter läget mot- 

 svarande termen i Zi i n ± a uv 6 r , e p , q . . . Men denna sista term 

 måste äfven innehållas i Zl n och kan genom tvenne permutationer 

 härledas ur a uv b )( c rs ... Dess tecken är således lika i A a och 

 z/ l /t , hvilka följaktligen äro identiska. 



Om motsvarande elementer i tvenne horisontala qvadrater 

 utbytas mot hvarandra, bibehåller determinanten samma nume- 

 riska värde, men förändrar tecken (4). 



T. ex. 



(a, b) 





11 12 



±,1 i, -1 





2,1 2,2 





(a, 



6) 



2,1 



2 2 



1,1 



1,2 



Man kan bevisa detta theorem på analogt sätt med theo- 

 remen (2) och (3). 



Om man uti livar och en vertikal qvadrat, der, enligt det 

 antagna beteckningssättet, alla elementerne äro betecknade med 

 samma bokstaf, utbyter elementerne i de horisontala raderna 

 med motsvarande i de vertikala, blifver den kubiska determinan- 

 ten oförändrad (5). 



