- 299 — 



T. ex. tredje gradens determinant kan äfven sättas: 





(a, b, c) 



/ — 



1,1 2,1 3,1 



J 3 — 



1,2 2,2 3,2 





1,3 2,3 3,3 



Ty i allmänhet, om uti den gifna kub. determinanten z/„ man 

 jemför en term ± a uv b c r9 ... med motsvarande uti den nya 



determinanten z/ 1 ,, måste denna der hafva formen + a b qp c s>1 



Denna term måste äfven förekomma i A n , och om m betecknar 

 antalet permutationer, som man måste verkställa med de första 

 indices för att erhålla densamma af principaltermen a lx b 22 c 33 ... 

 samt t dylika permutationer göras med de sista indices, är hela 

 antalet permutationer m + t Men då principaltermen i z/ 1 ,, är 

 densamma som i z/ , kan man finna, att t permutationer måste 

 göras med de första indices och m med de sista för att erhålla 

 den ifrågavarande termen. Hela antalet permutationer är således 

 här t + m eller detsamma som förut, hvarföre också termernas 

 tecken i båda determinanterne äro lika. 



Af det som förut blifvit anfördt följer, att om i en kubisk 

 determinant motsvarande elementerne i tvenne vertikala kolum- 

 ner eller i tvenne horisontala qvadrater äro lika, så är deter- 

 minantens värde = o. 



Deremot, om motsvarande elementer i tvenne vertikala qva- 

 drater såsom a och b qvadraternes äro lika hvarandra, blifver 

 alltid i determinanten två och två af termerne lika hvarandra 

 med samma tecken; äro motsvarande elementer i trenne sådane 

 qvadrater lika ined hvarandra, blifva tre och tre termer lika i 

 den kubiska determinanten, o. s. v. 



Ifall alla elementerne uti en horisontal eller vertikal qvadrat 

 äro sammansatta af tvenne eller flera delar, kan man upplösa 

 den kub. determinanten i ett lika stort antal delar, som följande 

 exempel antyda: 











