— 301 — 



vanliga determinanten, man kan bilda af A v B 2 , C 3 : termen 

 Bj b 2f c 3r är äfven der bildad utaf a lt b 22 c 33 genom permuta- 

 tion af de sista indices, hvarvid samma regel som förut gäller 

 för tecknen. Termernas tecken blifver sålunda det samma. 



Beteckna for korthets skull den af raderne A u B 2 , C 3 bil- 

 dade vanliga determinanten med (A t , B 2 , C 3 ), så att: 



(A, B.» C 3 ) 



«1,1 



a l,2 



a i,s 



b *A 



b 2,2 



\z 



C 3,l 



C 3,2 



C 3,3 



Permuterar man indices i (A t , B 2 , C 3 ), erhålles härigenom 

 1.2.3 vanliga determinanter, hvilkas termer alla måste ingå i 

 A 3 . Men om man betraktar en determinant, som uppkommit 

 genom en enda permutation, t. ex. (A v B 3 , C 2 ) eller 



"3,1 



C 2,l C i 



"1,2 "-1,3 

 ^3,2 ^3,3 



så har en term såsom a lp b 3r] c 2t samma tecken som efter läget 

 motsvarande term i (A Y , B 2 , C 3 ), nemligen a lp b 2i/ c 3r , deremot 

 är dess tecken i den kubiska determinanten motsatt det tecken, 

 som a. b 2i c 3r eger, emedan den kan härledas af denne genom 

 en permutation af de första indices. 



Man kan på samma sätt finna, att den vanliga determinan- 

 ten (A 2 , B.., Gi), hvilken uppkommit af (A v B 2 , C 3 ) genom tvenne 

 permutationer ingår i z/ 3 med oförändrade tecken. Genom att 

 upprepa samma resonnement för de öfriga determinanterne, finner 

 man slutligen: 



4 = (A k , B 2 , C 3 ) - (A,, B. A , C 2 ) - (A 2 , B» C 3 ) 

 + (A 2 , B,, C\) + (A 3 , B„ C 2 ) - (A 3 , B 2 , C\). 



Samma förfarande, hvilket här för större tydlighets och kort- 

 hets skull blifvit användt vid tredje gradens determinant, kan, 

 som man lätt inser, användas äfven för det allmänna fallet, hvar- 

 igenom det anförda theoremet blifver bevisadt, och man dessutom 



