— 302 — 



härleder följande regel för upplösningen af den kubiska determi- 

 nanten af rrAe graden: 



Beteckna med A±, A 2 , . . . A n , B^ B. z , . . . B n , 



L L , L Zi ... L n de första, andra .... ?i:te raderne ofvanifrån uti 

 a, b.... qvadraterne. Bilda den vanliga determinanten (A r 

 B 2 . . . LJ af raderne A { , B 2 , . . . L n och verkställ de 1.2.3.. 

 permutationerne af indices, man kan utföra; då blifver den kub. 

 determinanten lika med summan af dessa vanliga determinanter, 

 tagna positiva, om de äro bildade af (Ä lt B 2 , . . . L) genom ett 

 jemnt antal permutationer, men negativa, om de uppkommit ge- 

 nom ett udda antal sådarie. 



Det nu anförda theoremet (6) synes mig kunna blifva uta 

 någon nytta i theorien för de vanliga determinanterne, då det 

 lemnar ett enkelt uttryck för summan af vissa determinanter 

 hvilka sedan på mångfaldigt sätt kan transformeras. 



Man kan uttrycka A n som summan af n 2, kub. determinantei 

 utaf graden n 1, hvardera multiplicerade med ett element, 

 sjelfva verket ingår hvart och ett af den n' elementerne a xl 

 ä i2 . . i «2i • • • a n; som faktorer i (1 . 2 . . (n - l)) 2 termer, och 

 man kan sålunda sätta: 



4. f= a i,l a hl t «I,« ^1,2 + • • a *X a 2,l ■ • + a n,n «n,»' 



der i allmänhet a p ej innehåller något af a elementerne. Men 

 a måste sjelf vara en kub. determinant af graden n — 1. Då 

 nemligen i a pq ej något af a elementerne ingår, kan man för dess 

 bestämmande sätta dessa =• o, med undantag af a p , som sättes 

 = 1, och det resultat, man då erhåller, måste vara lika med a 1 

 Men denna kub. determinant kan genom omflyttning af p — 1 

 horisontala och q — 1 vertikala qvadrater bringas under en sådan 

 form, att I är det första elementet, under det att de öfriga i a 

 qvadraten äro = o, och den kub. determinanten kan då synbar- 

 ligen sättas lika med en annan af graden n — 1 genom utelem- 

 nande af a qvadraten och öfrige qvadrater, hvaruti 1 står. Sättes 

 denna determinant = z/ n -i> är enligt (2) och (4): 



^ = (-irH-i- 



