— 471 — 



X X 



— Cos — 

 ,. 1 n , * r 2" 2" 1 

 Im ^001- = hm r = 7 , 



2 ; ' 

 så är den sednares summa 



J T 9i + h T ^- + k T V¥ +etc - =7 -Cot«; ..(11) 

 den förras summa fas, om mau i (10) gör n = oo . Som sum- 

 man i det fallet får den indeterminerade formen co x O, måste 



man förlänga med — , hvarigenom man får 



X 



Sin — 



som ror n = go är = — , och alltså är 



Sina; x Sina; 



2" 



*» = £; ( 12 > 



Genom att i (12) göra x = — fås den af Euler gifna formeln 



C^O^C 71 o 7171 



See — • See — • See - .... See — = --. 



2 2 2 3 2 4 2 X 2 



Hvar och huru Euler deducerat denna formel, vet jag icke, 

 men den kan lätt fås ur hans formel ') 



„, ni jr n n Sn 3n bn bn 



See — — = - • ■ • • • etc. , 



2» n — m n + m 6n — m ån + m bn — m bn + m 



om man gör m = 1 och n successivt = 2, 2 2 , 2 3 etc. och hop- 

 multiplicerar de erhållna eqvationerna, hvarefter jemförelse med 



TT 



Walliska formeln visar, att produkten är = — . I Supplementet 



till Klügeis Wörterbuch, l:ste Abtheilung pag. 553, deducerar 

 Grunert formeln (11) och derifrån formeln (12). Han tillägger, 

 att flera dylika formler finnas i Eulers Opusculis analyticis och 

 sannolikt finnes den ofvannäranda der äfven. För öfrigt har 

 Grunert 2 ) enligt en uppsats af Catalan i Annales de Mathéma- 

 tiques gifvit ett elementärt bevis på den nämnda formeln. 



') Sc [ntroductio in Anal. infinit. § 186. 

 2 ) Archiv dur Math. Tom. VI. pag. 94. 



