28 LINDHAGEN, NÅGRA FORMLER I GAMMA-FUNKTIONENS TEORI. 



Ur denna utveckling härledas pä analogt sätt rekursionsformler 



tor koefficienterna i den beständigt konvergerande potens- 



1 

 serien -— r. 



f{x) 



Afven funktionen F(.v + 1) kan for omgifningen af värdet 

 X — O utvecklas i en serie fortskridande efter hela positiva po- 

 tenser af x. Uttrycken för koefficienterna följa omedelbart ur 

 definitionen på P(x). 



Härefter erhåller man genast 



Q{x + I) = r{x + 1) — r(:c +1); 

 och ur relationen 



följa nu koefficienterna i utvecklingen af Q(.i').^) 

 Genom den anmärkningen, att formeln 



eP{x) = — + ^-^ + a:(a: + l)(x + 2) ^ 



kan skrifvas under formen 



r{x) r{x) , r{x) 



00 



r{x + i) /{x + 2) r{x + 3) 

 eller 



Il = I 

 kommer man till några relationer, som ej synas sakna intresse. 

 Om man nämligen inför beteckningen 



00 



(2) 



sa är 



eP(^)=^r(.v).f(.v); (3) 



och om man eliminerar P(.v) ur (1) och (3), finner man 



/(..) = 41 -QW.A^j (4) 



hvaraf framgår, att f{^v) är en funktion af hel karaktär och kan 



') Jfr BouRGUET, Dvoeloppement en series des intcr/rales Enlériennes. Ann. de 

 l'Éc. Normale. 2:e Serie. Tome X. 1881. 



