ÖFVERSIGT AF K. VETENSK.-AKAÜ. FÖRHANDLIKGAK 1883, ]S':0 2. 29 



utvecklas i en beständigt konvergerande potensserie, hvars koef- 

 ficienter på ett enkelt sätt låta framställa sig ur de enl. föreg. 



redan förut kända koefficienterna i potensserierna Q(x) och -^-. 



Bland de egenskaper, som utmärka funktionen /(.r), må särskildt 

 nämnas den, som uttryckes genom funktional-eqvationen 



fiw -l)-(.T+l) /(.r) + .Tfi^v + 1 ) = 0. (5) 



Eqvationerna (3) och (4) kunna skrifvas på följande sätt: 



(6) 



O) 



■ (8) 













r{x) ~ 



fix) 

 e 



och 











Q(x) e 



r(x) 



~f{x) 

 e 



hvar 



af 









Q[x) e 



/(•^) 

 -/(^) 



Eqv. 



(3), 



sk 



rifven 



under 



formen 



Ax) 



1 



_ (9) 



"•rix) 



framställer P(a;) under en af de hufvudformer, som hvarje funk- 

 tion af rationel karaktär kan antaga, nämligen såsom qvoten af 

 två beständigt konvergerande potensserier. 

 Af likheten (9) följer, att eqvationerna 



F(.v) == O, f(w) = O 



måste hafva samma rötter. En närmare undersökning af dessa 

 och af rötterna till eqvationen 



Q(.r) =. O 



vore af synnerligt intresse. Man kan visserligen ådagalägga, 

 att inom vissa delar af planet inga rötter till dessa eqvationer 

 finnas; men en fullständig utredning af frågan tyckes vara för- 

 enad med betydliga svårigheter. 



