32 BENDIXSON, NÅGRA STUDIER ÖFVER OÄNDLIGA PUNKTMÄNGDER. 



»Finnas icke-abzählbara lineära punktmängder sådana, att 

 man kan innesluta alla punkter, som tillhöra desamma inom ett 

 ändligt antal intervall, hvilkas summa kan fås mindre än hvarje, 

 på förhand uppgifven, positiv kvantitet f5?» 



Man kan utan svårighet framkonstruera punktmängder, som 

 uttrycka dessa vilkor. För bevisandet har jag måst stödja mig, 

 som ofvan nämdt, på en än ej publicerad sats af Cantor, hvil- 

 ken härnedan meddelas i den form, som professor Mittag- 

 Leffler framstälde den. 



»Ar P en abzälilbar punktmängd och P' likaledes abzahl- 

 bar, så är för något värde på a (där a = någon af de Cantor- 

 ska oändlighetssymbolerna) P(^") = 0;» 



Härefter öfvergå vi till framställande af de sökta punkt- 

 mängderna. 



Till förenkling af formuleringen i det följande förutskickas 

 följande definition: 



»Med att i intervallet, a . . , ß (a och fi belägna på den 

 positiva reela axeln och a <. ß) symmetriskt inskrifva sträckan 

 a {o <i a <_ ß — «), förstår jag, att fixera två punkter y och å, 

 sådana att fj-^— y = a, y — a = ß — c>\» 



Den sökta punktmängden bildas nu på följande sätt: 



Inskrif i intervallet a . . . ß symmetriskt sträckan — ^^ — , in- 

 om hvilken ingen ny sträcka får inskrifvas. I livar och en af 

 de återstående härigenom uppkommande intervallen inskrifvas 

 symmetriskt sträckor = halfva dessa intervall, och inom hvilka 

 sträckor inga nya få inskrifvas. Denna operation fortsattes in 

 infinitum, så att altjemt inom nya intervall sträckor = halfva 

 dessa intervall symmetriskt inskrifvas, och inom hvilka sträckoi- 

 inga nya få inskrifvas. 



Andpunkterna till de så inskrifna sträckorna bilda en punkt- 

 TTiängd, hvilkens första härledda punktmängd satisfierar båda de 

 ofvan uppstälda fordringarna. Beviset härför följer: 



alldenstund hvarje punkt har uppkommit så, att jag in- 

 skrifvit en sträcka, inom hvilken ingen punkt tillhörande punkt- 

 mängden finnes, så omgifves hvarje punkt a, på ena sidan af en 



