34 BENDIXSON, NÅGRA STUDIER ÖFVER OÄNDLIGA PUNKTMÄNGDER. 



Häraf följer åter att P — P icke är abzählbar. 



Uppgifva vi nu ett visst å, kunna vi alltid finna ett n så- 



dant att 



2" 



<å. 



Närmast efter sträckan A i storlek kommer tydligen en 

 sträcka, som inskrifvits i ett intervall -^, hvaraf följer att den 

 närmast i ordningen följande sträckan = -j-. Som nu den första 

 sträckan = ^ , sa kan hvarje sträcka sättas under formen 

 r "~" . Om antalet sträckor af längden ^ ." är m, så är tyd- 

 tydligen antalet sträckor af längden L^ "^ = 2 . wi. Som nu an- 



talet sträckor af längden 

 längden |=^ = 2''. 



är 1, blir antalet sträckor af 



Häraf följer att antalet sträckor, hvilkas respektive längder 



äro större eller lika med ^^ är = 1 + 2 + 2^ + . . . + 2" := Wj 



= ändlig kvantitet. Antalet af de intervall, som uppstå genom 

 att utesluta dessa n^ sträckor från intervallet a . . . ß, blir så- 

 ledes ?ij + 1 = ändligt antal. 



Summan af de ofvannämnda fi^ sträckorna = S„, . 



ß — « 



Ä„^ = ÉJ^ + 2.4^- + 2^fe4U 



2.4 



n + \ 



2.42 



+ 2" 



2.4" 



= (ß — a)\ ^ 



Summan af de återstående intervallen — Sn^+-[ 



Sn,+\ — (ß «) 



n + I 



Men inom och på gränsen af de n^ sträckorna faller ej nå- 

 gon punkt, som tillhör P—P, således måste alla punkter, som 



