ÖFVERSIGT AF K. VBTENSK.-AKAD. FÖRHANDLINGAK 18 83, N:0 5. 7 



De tvänne likheterna 



yj(a; + n) = ^j{x) + 1 + -Ij + . . . + ^:^, 



"^^""^ ^ ",!ä (-^ + ^ + • • • + ^- ^^('^' + ^^)) ' 



af hvilka den senare också kan skrifvas sålunda 



'^^''^ ^ "il'i (^ + ^ + • • • + ^- ^^") ' 



utvisa att den logaritniiska derivatan af T{x) har egenskapen 



lim {\^ {x -\- n) — Igii) = O . 



?l=00 



Uppenbarligen är omvändt den näst sista likheten en nödvändig 

 följd af den sista likheten och följande 



^){x + 1) = ^){x) + -^ . 



De tvänne senaste likheterna räcka således till att fullständigt 

 karakterisera funktionen 'k^{x). Denna sats kan man naturligt- 

 vis också erhålla ur satsen, att Tix) fullständigt karakteriseras 

 genom likheterna 



r(^+ \) = xT{x\ limf^ = l. 



Vi öfvergå nu till en generalisering af likheten 



T{\ + x)T{\ — X) — -r^^^ . 

 ^ ^ ^ ' sin 77a; 



Den egenskap hos gammafunktionen, som uttryckes genom denna 

 likhet, kan angifvas på följande sätt. Aro q^ och q^ rötterna 

 till likheten 



(>2 = 1 , 

 så är 



1 



Ti\ — Q-^x)T{\ — q^x^ = 



00 / 2\ 



Denna sats är endast ett specielt fall af följande sats. Åro 

 ^j, ()2? . • • (>,/ rötterna till likheten 



