10 MELLIN, OM GAMMAFUNKTIONEN. 



följande Q{ä;) framställas genom en enda serie, ,hvilk en är fullt 

 lika enkel som första delen i det HERMiTE'ska uttrycket. Vi 

 komma derunder att stöta på funktionen 



00 



71 = o 



livilken öfvergår i den PRYM'ska funktionen P{a;) om man sät- 

 ter 2; = 1. Båda dessa uttryck för q)(a;, z) utvisa, att denna 

 funktion besitter egenskapen 



zcf{x + 1,2:) — xcp{x, z) — e~^ . 



Genom att upprepade gånger använda denna likhet erhålles 



— w(x,z) — e~^ h — T- + . . . + — TT--—, T^c 



^^ ' ^ \ X x(x + 1) x{x + l)...{x + n — l)] 



Emedan venstra membrum närmar sig noll då ?^ växer, så er- 

 hålles härur den LEGENDRE'ska likheten 



(r)(x, z) = e-4~- + , ^ .,, + . . . + -, TT — -, -^ + . . . I- . 



^^ ' ^ \a; a;(a;+l) a;(a; + 1) . . . (a; + «) | 



Antaga vi nu att v är ett positivt helt tal, så är tydligen 

 Q{x) = ^e-H^-^clt = — \ I " e-H^-hlt . 



n = v 



?j + l 



Sättes 



så blir 



_. W + 1 — T 



n + \ C— I \a: — 1 



w + 1 



Vidare är 



