12 MEL LIN, OM GAMMAFÜNKTIONEN. 



Vi skola nu framställa gammafunktionen genom en serie, 

 hvilken endast obetydligt skiljer sig från den serie som före- 

 kommer i (5), men hvilken dock icke konvergerar för hvarje 

 ändligt värde af x. 



Om man påminner sig hvilka vilkor exponenten måste upp- 

 fylla, för att binomialserien skall absolut konvergera på sjelfva 

 gränsen af konvergensområdet, så inser man också att serien 



00 



/. = o 

 absolut konvergerar om den reela delen af x — 1 är positiv. 

 Det är lätt att uttrycka denna serie genom en bekant funktion. 

 Man har nämligen 



00 



9-1 



/. ■= o /. = o o 



1 oo 1 



e' 



Sätter man i den sista integralen t=\ — i, sä öfvergår den- 

 samma uti 



n 



och följaktligen är 



oo 



PG^•) = .-^^(-1)^,(^7^) 



/. = o 



Då nu 



(6). 



r{x) = P{x) + Q{x) , 

 så är i stöd af (5) och (6) 



00 



r(x) -=^i- 1)^-^;. (' 7 ^) %''• - 1 - Z) , . . 



der 



3l{x) = R(x) + 6-1= e-^' + e-22.« + e-'^3' + . . 



(7), 



