14 MELLIN, OM GAMMAFUNKTIONEN. 





00 



Hn, (.. . „).-. [r-i.) -Y}- 'yik)'jM ■■■■ (9)- 



;. =0 



För att kanna bestämma detta gränsvärde måste vi först 

 undersöka serien 



00 



,(..)= £(-i)..(^r^. 



Den inom klammer stående serien är, på en konstant faktor 

 när, lika med den (v — l)sta deriverade af cp(w): 



oo 



Likheterna (9) och (10) utvisa nu att 



c^-''= lim (.. + ny-^\r"{^) + (- i)^,^^l . . . (11). 



Serien (fi{a;) är lika med den PRYM'ska funktionen P(ä), om 

 man antager att v ^= 1. Emellan x, q){x) och cf{x + 1) består 

 också en relation, hvilken omfattar likheten 



P{x+ 1) = xP{x) — e-^ 



såsom ett specielt fall. Om man uti likheten 



1 \ " x" 



^"(fix) = ^'"-1 + /^(— 0"''^"(|t) 



{i+iy{x+i^i) 



1 = 



gör bruk af likheten 



r" 1 1 



(A + 1)"(^ + A + 1) ^ ' x + l^l^^ ' l + l^ " 



H V 1 



+ (— ^)'^\a+i)«+'+ • • +(Änr' 



hvilken verificeras genom att utveckla båda membra efter po- 

 tenser af ^ , så finner man att 



cf{x + 1) = x'cf{x) — r{x) , (12), 



der fix) är en hel rationel funktion af graden v — 1. 



