ÖFVERSIGT AF K. VETENSK.-AKAD. FÖRHANDLINGAR 18 83, N:0 6. 1 1 



nät, så uppPylles vilkoret (22) 2:o för n =^ 1, hvadan utvecklingarna 

 (23) och (27) gälla för potensserien »S = konstant. 



Anm. 2. Enär likheten (23) är under de ane:ifna vilkoren en 

 identitet, så anger hon bildningslagen för en kontinuerlig och enty- 

 dig funktion /, hvars enkla oändlighetsställen Cj,...,Cm äro gifna. 

 Den i ofvan citerade Tidskrift för 1871 gifna utvecklingen af en 

 kontinuerlig och entydig funktion för det fall, att Cj,...,c„j äro 

 ■oähdlighetsställen af hvilka ordningar som helst, anger på samma 

 sätt bildningslägen för en dylik funktion ^. 



Utveckling af inversionen Js{u) 1 potensserie. 



8. För en konvergenscirkel C, hvars medelpunkt är a och 

 som innesluter punkten a + h men deremot ingen af de (?? — • 1) 

 förgreningspunkterna /^j, . . . ,/?„_i, är funktionen Js{it) konti- 

 nuerlig och entydig och följaktligen utveckelbar enligt Taylors 

 serie, d. v. s. serien (23), för Mr — 0(r = ], 2, . . . m). För 

 ic == a + h fås alltså, 



(28) Js(u) = J,{a) + ^ J's{a) + ^-^^^ J",(a) + ..., 



hvarvid de successiva derivatorna J's(a), J"s{a), . . . enligt (7) 

 uttryckas i konstanten Js{a), hvilken förutsattes bekant. För 

 a = O ha vi enligt (5) Js{o) — «^«(s = 1, 2, , . . ?i), n bekanta 

 värden som, successivt införda i (28), bestämma de n särskilda 

 inversionerna J\{u), . . . ,Jniu). Med de så erhållna n värdena 

 på Js{u) kunna vi sätta utvecklingen (28) under formen, 



J,(^,^) = J,{u) + ^^ J's{u) + i^^LZ^ J",(..) + . . . , 



hvilken således gäller för en konvergenscirkel 6\ , som har u till 

 medelpunkt och innesluter punkten u^ men ingen af de {n — 1) 

 förgreningspunkterna /^j, . . . ,/?„_i. Genom en lämplig anordning 

 af på detta sätt på hvarandra följande konvergenscirklar kunna 

 vi slutligen bestämma funktionen Js{u) för hvijket värde som 

 "helst på variabeln u, som är skildt från förgreningspunkterna 



/jj , . . . , pn — 1 • 



1) Jfr »Mittag-Lefflers teorem ■> af ett senare datum (1877). 



