6 MITTAG-LEFFLER, ETT NYTT BEVIS FÖR LAURENTS TEOREM. 



Det förefaller som om denna sats icke hittills rönt den 

 uppmärksamhet, hvilken den är värd. Skälet är måhända, att 

 densamma hos Weierstrass uppträder endast som hjelpsats, 

 hvilken tjenar att bevisa följande teorem. 



B. »Låt f{x) vara en entydig monogen funktion af varia- 

 aeln x, hvilken har n singulära ställen Cj . . . . c„. Denna funk- 

 tion kan alltid framställas under formen 



n 

 r= 1 



hvarest C betyder en af x oberoende konstant och ö,!;;^— ^ — j är 



en hel algebraisk eller transcendent funktion af , hvilken 



försvinner för — = 0.» 



X — c„ 



Det är icke svårt att inse, att teorem B omedelbart kan 

 härledas, om man betjenar sig af följande teorem, hvilket är 

 bekant under namnet det LAURENT'ska teoremet. 



»Låt f{x) för R' <i\oc\ <i R", hvarest med R och R" för- 

 stås gifna positiva qvantiteter, vara en entydig monogen och 



regulär funktion af variabeln x. Det är alltid möjligt att fram- 

 ti =+ « 



ställa en potensserie \ AuX^"', hvilken fortskrider efter po- 



,(« = CO 



sitiva och negativa potenser af variabeln x, hvars koefficienter 

 äro af X oberoende qvantiteter, och hvilken dessutom är sådan 

 att likheten 



Lt = + CO 



a = — CO 



öfverallt för R' < | x \ < R' eger rum.» 



Det LAURENT'ska teoremet kan med lätthet härledas ur 

 teorien för definita integraler, och är då endast en enkel följd- 

 sats af ett teorem af Cauchy. Denna härledning torde 



