ÖFVERSIGT AF K. VETENSK.-AKAD. FÖRHANDLINGAR 18 83, N:0 9. 7 



vara den enda härintills bekanta. Uti ett förtjenstfullt arbete: 

 »De algebraiska funktionerna af en oberoende variabel»^) har 

 Herr Hj. Mellin ådagalagt, huru den nämnda bevisföringen 

 kan bringas i noggrann öfverensstämmelse med det Weier- 

 STRASS'iska betraktelsesättet inom funktionsteorien. 



Det LAURENT'ska teoremet erhåller dock icke, om det be- 

 visas på detta sätt, den elementära plats inom teorien för 

 de analytiska funktionerna, hvilken synes vara betingad af 

 teoremets verkliga beskaffenhet. Weierstrass har derföre, 

 för att icke behöfva lemna den idekrets, hvilken de funk- 

 tionsteoretiska undersökningar tillhöra, som i afhandlingen 

 »Zur Theorie der eindeutigen analytischen Functionen» före- 

 komma, härledt teorem B ur teoremet A^ i stället för ur 

 det LAURENT'ska teoremet. Om man, såsom jag i åtskilliga 

 afhandlingar, hvilka blifvit offentliggjorda i Vetenskapsakade- 

 miens Ofversigt, ytterligare fullföljer de vägar, hvilka Weier- 

 strass i sin förenämnda afhandling öppnat, så visar det 

 sig dock snart vara omöjligt att undvara det LAURENT'ska 

 teoremet. Man behöfver dock icke i öfrigt lemna de elementära 

 betraktelser, af hvilka Weierstrass betjenar sig. Det är der- 

 före, utan tvifvel, af verklig betydelse för funktionsteorien att 

 kunna bevisa Laurents teorem, utan att taga integralkalkylen 

 till hjelp, och utan att eljest öfverge elementerna af funktions- 

 läran. 



Ett dylikt bevis kan erhållas genom att under någon annan 

 form än hos Weierstrass framställa teorem A. Granskar 

 man närmare den metod, af hvilken Weierstrass betjenar sig 

 vid härledningen af teorem A, finner man, att han på samma 

 gång som teorem A, äfven härledt följande teorem, hvilket han 

 dock icke under explicit form uttalar. 



C. y>hkX, f(x) inom ett continuum 5V, hvilket består af ett 

 enda stycke, vara en entydig monogen funktion, hvilken icke 

 inom i\ har något väsendtligt singulärt ställe. Låt vidare y = 



') Akademisk afhandling, Helsingfors 1881. 



