ö MITTAG-LEFFLER, ETT NYTT BEVIS FOR LAURENTS TEOREM. 



(^(ä') vara en algebraisk rationel funktion af variabeln x, hvilken 

 öfverallt inom ^ förhåller sig regulärt. De värden på y, hvilka 

 erhållas ur likheten y = (f(ic), då x efter hvartannat betyder 

 samtliga ställen inom kontinuet ^, utgöra tillsammans, inom 

 området för den obegränsadt föränderliga variabeln y, ett af ett 

 enda stycke bestående kontinuura B. Antag att ^ och B på 

 sådant sätt motsvara hvarandra, att samtliga de värden på x, 

 som för ett gifvet värde på y, hvilket är beläget inom 13, satis- 

 fiera likheten y = q^{x), sjelfva äro belägna inom ^. 



Låt c vara ett ställe, hvilket som helst, på gränsen till 

 eller utom ^. Man kan alltid bilda n funktioner F^^y) . F^{y) 

 . . . . Fn — i{y), hvilka inom B äro entydiga monogena funktioner 

 af variabeln y, hvilka icke inom B ha något väsendtligt singu- 

 lärt ställe, och hvilka kunna väljas sä, att likheten 



/(..) =^. 



[x—c)'' 



för y — cf{x) öfverallt inom ^ och % eger rum. Om funk- 

 tionen f{x) icke inom Jl har några oändlighetsställen, är det- 

 samma inom B fallet med hvar och en af funktionerna Ff^(y) 

 F,(y)...F,,^,(y).. 



Ur detta teorem kan Laurents sats på följande sätt 

 härledas. 



Låt oss sätta 



hvarest R må betyda en gifven positiv qvantitet och n ett 

 gifvet positivt helt tal. 



Likheten 



har, i afseende på x, endast i det fall lika rötter, att 

 cp'{x) = 0. Detta inträffar åter alltid och endast, då 



