ÖF VERSIGT AF K. VETENSK.-AKAÜ. FÖRHANDLINGAR 18 83^ N:0 9. 11 



Efter dessa förberedande betraktelser är det lätt att erhålla 

 Laurents teorem. Låt j\x) för alla värden på x, hvilka upp- 

 fylla vilkoret R <i,\x\ <i R", vara en entydig monogen och re- 

 gulär funktion af x. 



Fastställ godtyckligt en positiv qvantitet E, sådan att 

 R <i R <, R". Fastställ sedan en positiv qvantitet (>, sådan 



att Ri{ + p) <C R" och att :; > R. Låt vidare h vara en 



^ ^ 1 + P 



godtycklig positiv qvantitet och välj det positiva hela talet n så 

 stort att |[(1 + ^o)" -^-^-^J >l +li. 



Man erhåller, på grund af teorem C, likheten 



2ra — 1 



/(.)=^i.„(y)(-i-)' 



)' = o 



hvarest c är ett ställe, beläget utom eller på gränsen till den 



med :?l betecknade cirkelringen r <,\x\<, R{\ + ()), samt 



funktionerna Ffj(^y) F^{y) . . . . Fn — i{y) inom området p, hvilket 



genom likheten ?/ = -J I -|- 1 + ( — I erhålles som motsvarande 



området ^, äro entydiga, monogena och regulära funktioner af 

 variabeln y. Området B innesluter helt och hållet en cirkel, hvilken 

 har origo till medelpunkt och I + A till radie. Inom och på 

 gränsen till denna cirkel har man således 



F,{y) ^ A^'^ + a!('\j + Äi'\f- + ...., 



hvarest ^0 ^1 ... . äro af y oberoende konstanter, samt 



00 



/ ^«■'(1 + ^0" år en absolut konvergerande serie. Om e är 

 ,« = o 

 en så liten positiv qvantitet att -^ (1 + g)'' + i- ) r^ ^ + ^^' 



är absoluta beloppet för y städse mindre än 1 + A, så snart x 

 tillhör cirkelringen j-— '^\x\<R{\. + e). Serien y A^a^(f){xy', 



