12 MITTAG-LEFrLER, ETT NYTT BEVIS FÖR LAURENTS TEOREM. 



hvarest (p{x) = -9- |-|") + ( — I K ^t således likformigt kon- 

 vergent för alla värden på x, hvilka tillhöra denna cirkel- 

 ring. På grund af ett kändt teoremi) är således inom den- 



samma 



Fr{y) ^Y^A^^cpixY = G,.{x) + G,{^) , 



hvarest Gr{x) är en potensserie, hvilken fortskrider efter posi- 

 tiva potenser af x och konvergerar så snart | ä; | < i?(l + e), 



samt Ga — I är en potensserie, hvilken fortskrider efter negativa 



potenser af x och konvergerar, så snart | ä* | > t 



+ i 

 På grund af likheten 



2n — 1 



.m = 





blir således för cirkelringen = <\ x\<R(l + e) 



00 



f(x)^Y^Ä,x", 



,11. = — 00 



Nu gäller uppenbarligen, å ena sidan, att ofvanstående likhet 



fortbestår inom hela den cirkelring, som utgör det gemen- 



00 



samma konvergensområdet för serierna y ^_,, tV"'" och 

 00 



y ÄaX-'-, och å andra sidan, att båda dessa serier måste 



/(. = 1 



konvergera inom hela den cirkelring, inom hvilken f(x) är en 



entydig, monogen och regulär funktion af x. Likheten 



/( = + 00 



f(x) = \ A,,x" 

 it = — 00 



') K. Weierstrass. Zur Functionenlehre. Monatsbericht der Königl. Akade- 

 mie der Wissenschaften zu Berlin von August 1880, p. 7. 



