ÖFVERSIGT AF K. VETENSK.-AKAD. FÖRHANDLINGAR 1883, N:0 9. 19 



Ocli på samma sätt fas följande sats: 



Om två potensserier, hvilkas konvergensområdens medel- 

 punkter äro a^a2 . . . . an—-\an och a-^a^ • . . . an—ia'n konvergera 

 inom ett gemensamt område, så är detta ett enda kontinuum i 

 2w dimensioner. 



Genom dessa corollarier hafva vi således fått några till- 

 räckliga, men ej nödvändiga vilkor för att tvänne potensseriers 

 gemensamma konvergensområde skall utgöra ett enda kontinuum, 

 men innan vi öfvergå till ett kriterium som är både tillräckligt 

 och nödvändigt, livilket vi blott kunna lemna för serier af två 

 variabler, måste vi först framställa några förberedande satser. 



Om i en potensserie P(ä^i ....??„ | «j .. . an) gifves konstanta 

 värden åt variablerna a;^ . . . .Vn—i, så reduceras den till en po- 

 tensserie af blott variabeln a'„, hvilken serie då har en fullt 

 bestämd konvergensradie ^'3. ...a- ^- Det skall undersökas, när 

 denna är en kontinuerlig funktion af x^ . . . Xn^i. 



För att göra detta uppställa vi först följande hjelpsats: 



Om vi hafva en rad af potensserier 



P,{x), F,{x) . . . . P,M) 



kvar est 



p^{x) =y \ Åuo^^" 



f* 



= o 



Pn{x)=y^\ÄanX-''\ 

 ,«- = O 



och omför ett bestämdt x det finnes ett visst positivt r sådayit 



att för hvarje 2^*^^' cc <. 1 ett m kan uppgifvas sådant att för 



alla n ^ 'in 



- {aryPn(x) < d 



hur liten den positiva qvantiteten ö än är på förhand upp- 

 gifven; och om de positiva qvantiteterna /!? > 1 och p <C 1 äro 

 sådana att äfven för hvarje pos. a < 1 ett m' finnes sådant att 



för alla n^ m' 



{aßryPnipx) < er 



