20 MEYER, OM KONTINUITET HOS KONVERGENSOMRÅDEN. 



hur litet det 'positiva ö' än år jjå förhand uppgifvet, så kan 

 'inan äfven alltid, om vi fastställa ett pos. 7 ■< 1 , för hvarje 

 positivt tal q, som uppfyller vilkoren 



pq<\ ochO<logq<'^^{£f-^ 



f finna ett 8^'> I sådant att 



{ß^yßryPnipqx) < 



hur litet o än är på förhand uppgifvet, blott n tages nog stort 

 för hvarje särskildt o. 



Aiim. Emedan satsen i ofvanstående abstrakta formulering torde 

 vara något svårfattlig, så meddelas här följande förklaring: 

 Hypotesen innebär, att, om P^,{x) tänkas såsom koefficienter i 

 en potensserie, så är dennas konvergensradie ^r, om deremot 

 koefficienterna äro P^,{px) (p <C 1), så är konvergensradien 

 > /?r (/? > 1). Då påstås, att man genom att välja q pä det 

 uppgifna viset kan få konvergensradien >> hvilken förut uppgifven 

 bråkdel (7) af ßr som helst, då koefficienterna äro F^,(pqx). 



Bevis : 



Enär ju qvantiteterna d och å' få väljas huru som helst, 

 så. välj dem så att 



d + d' < G. 

 Emedan 



I ^ log y . losp 



så kan man äfven alltid finna ett ßy'>l sådant att 



1 ^ iog(^.r)iogp 



= -^ log /S 



hvaraf följer, då log /? > O, att 



— \ogß.\ogq> — log (ß^y) . \ogp ; 

 men då måste äfven för något or < 1 inträffa att 



— log ß .\ogq> log a logp — log (ß^y) logp, 

 hvaraf 

 log a . log q — log /? log q — log (ß^y) log q > 



log a logp + log a log q — log (ß^y) \ogp — log (/:?,)/) log q 

 eller 



log q {log a — log {ßißy)\ > log (p^) {log a — log {ßiy)} , 



