22 MEYER, OM KONTINUITET HOS KONVERGENSOMRÅDEN.- 



eller 



{ß.yßryPnipq^^) < {arYPn{x) + {aßryPnipx), 

 hvilket senare membruni ju för all-a n, som äro > såväl m 

 som m, är < d + d' < a, livadan jag för hvarje ifrågavarande 

 q funnit ett /?j > 1 sådant att för nog höga n 



(ßiyß7-y-Pn{pqx) < a. 



H. s. g. 



Om vi hafva en potensserie af n variabler G(x^ . , . a'„) och 

 deri gifves fixa värden åt variablerna ,%\...a;n—i, så reduceras 

 potensserien till en sådan af en enda variabel Xn, livilken har 

 en viss konvergensradie, som vi teckna o'^ ^ , och som vi 

 vilja bevisa vara en koiitinuerlig funktion af .i'j . . . ä;„_i , dåden 

 ej springer till värdet 0. 



Vi bevisa först satsen för 2 variabler, för att sedan genom 

 ett slut från n till n + \ komma till den generela. 



Vi uppställa derför följande sats: 



Om vi hafva en potensserie af två variabler x och y ^ hvars 

 termer äro ersatta med sina absoluta helojyp, så är r^- ^^ ho7i- 

 tinuerlig funktion af x^ utom då den blir = O, hvilket kan ske 

 diskontinuerligt}) Den kan ej heller, då x varierar, vara kon- 

 stant annat än vid sitt högsta möjliga värde eller 0. 



Bevis : 



På grund af potensseriernas allmänna bekanta egenskaper 

 kunna vi säga att r^- aldrig kan växa då x växer eller tvärtom, 

 utan antingen aftar med växande x eller är konstant. På grund 

 häraf måste den, då x från endera sidan närmar sig ett visst 

 värde 6, alltid hafva ett fullt bestämdt limesvärde, men dessa 

 båda limesvärden kunna möjligen vara olika, och om värdet i 

 punkten 6 sjelf (som antages skild från 0) veta vi blott, att det 

 antingen ligger emellan gränsvärdena eller är lika med det ena. 



') Äfven för värdet a; -- O kau ?-^ blifva diskontiuuerlig, säsoin af beviset fraiu- 

 gär, men sädana diskontinuiteter äro för oss af ingen betydelse, dä de ut- 

 spräng (i färre än 2w dimensioner) af konvergensomrädet, som sälunda upp- 

 komma, ej i egentlig mening kunna anses tillhöra detsamma. 



