28 MEYER, OM KONTINUITET HOS KONVEUGENSOMRÅDEN. 



variabler skola konvergera inom blott ett enda kontinuum. Vi 

 gifva dessa vilkor i två väsendtligt olika former, motsvarande 

 förra satsens l:o och 2:o, och vilja sedan söka gifva en geo- 

 metrisk illustration till dem båda. 



I. Otn tvänne potensserier 



G{x^ , A'2 I a^a,) och G'{x^ , x^ \ a\ a',) 



hafva ett gemensamt konvergensområde, och på endera (och 

 der för enl. föregående sats på kvar der a) af de {begränsade) 

 räta Unierna au,äju, {fj. = 1,2) finnes en punkt ^^( sådan att, 

 hvilken punkt af den (begränsade) räta linien a„a,, (v = 3 — fj.) 

 A',, äti må vara, stället x^x^ dock aldrig ligger inom seriernas 

 gemensamma konvergensområde, så bildar detta ett enda kon- 

 tinuum e fl da st under förutscittning att denna x^c.s egenskap delas 

 af livar je punkt mellan X/^ och af^, eller mellan x^^^ och a^. 



Om deremot ingen sådan punkt Xu, finnes, så bildar det 

 gemensamma konvergensområdet alltid ett enda kontinuum. 



Det förra (det nödvändiga kriteriet) ådagalägges på all- 

 deles samma sätt som vid exemplet sid. 17. Det senare (det 

 tillräckliga) bevisa vi på följande sätt: 



Låt ställena Pip^ och q^q^ ligga inom det gemensamma 

 konvergensområdet. Då skära cirklarna c ^^ och c^^ hvarandra 

 och likaså cirklarna c^*^ och c^'*^ , hvaraf följer, att då x^ rör 

 sig från p^ till q^, hvarken r^^^ eller r^^-' kan springa till 0. De 

 äro då kontinuerliga funktioner af x,, och cirklarna c^''^ och c ■ 

 kunna ej upphöra att skära hvarandra, utan att för något x\- 

 värde tangera hvarandra, men då vore detta x^ sådant, att hvad 

 värde x^ än hade, kunde dock x^X2 aldrig ligga inom det gemen- 

 samma konvergensområdet, hvilket str der mot antagandet. Cirk- 

 larna skära hvarandra således ständigt, hvaraf satsen omedel- 

 bart följer. 



II. Om det existerar ett värdesystem x\ x'^ sådant att hvarje 

 värde X f^ (^ = 1^2) ligger på den begränsade räta linien a^a ,, , 



