17 



Ofversigt af Kongl. Vetenskaps-Akademiens Pörhandlingar 1883. N:o 10. 



Stockholm. 



Meddelanden från Stockholms Högskola. N:o 16. 



Om konvergensområdet bos potensserier af två 

 variabler. 



Af Edv. Phragmén. 



[Meddeladt den 12 December 1883.] 



Om två vanliga potensserier äi'O gifn?i, som hafva ett visst 

 gemensamt konvergensområde, så är det lätt att se — med an- 

 vändande af Weierstrass' resonnement i inledningen till »Zur 

 Functionenlehre» och en bekant sats af Cantor — att den all- 

 männaste formen för detta gemensamma konvergensområde är 

 ett af ett ändligt eller oändligt, men alltid «abzählbart», antal 

 stycken bestående kontinuum. Med det gemensamma konvergens- 

 området för två potensserier menar jag då, som vanligt är, sam- 

 manfattningen af alla punkter, i livilkas omgifning båda serierna 

 konvergera. 



Ar det fråga om potensserier af endast en variabel, så inser 

 man omedelbart, att det gemensamma konvergensområdet i detta 

 fall är ett af ett enda stycke bestående kontinuum. Betrakta 

 vi deremot potensserier af flera variabler, så blir det en mycket 

 svår uppgift att afgöra, om och i hvad fall två sådana seriers 

 gemensamma konvergensområde kan bestå af mer än ett enda 

 sådant stycke. Denna fråga är emellertid inom den Weier- 

 STRASS'iska funkiionsteorien af en viss betydelse, särskildt för 

 det fall att potensserierna äro element af samma analytiska 

 funktion. Jag skall i det följande söka genomföra en dylik 

 undersökning för potensserier af endast två variabler. 



Öfvers. af K. Vet.-Akad. Förli. Arg. 40. N:o 10. 2 



