OFVERSIGT AF K. VETENSK.-AKAÜ. FÖRHANDLINGAR 1883. N:0 10. 21 



2:o i hvarje omgifnins; af detsamma finnas ställen, som, till- 

 höra den ena seriens konvergensområde, men ej den andras. 



Dot första är omedelbart klart. 



Det andra kan visas så. Hvarje ställe (?./, v) sådant att 



n > a, ü > ß, ligger inom konvergensoinrådet för (tj , men utom 



konvergensområdet för G. Ty låt n vara så stort, att 



a Un <u — a , Vn — ß <v — ß. 



Då är 



It > 2a — Un eller emedan a > tin+i = Un + ön 



U > Un + 2{J,j. 



Emedan v > Vn, följer liäraf och af betydelsen af ån, att 

 stället {u,v)^ som tydligen tillhör konvergensområdet för G^^, 

 ligger utom konvergensområdet för G. 



Omvändt gäller också, att om (mq,i'o), {u,v') äro ställen 

 som tillhöra det gemensamma konvergensområdet för två potens- 

 serier och UQ<iu', t'o > v', och det finnes ett ställe (a,/?) med 

 Uq <. a <, u', ^'o > /5 > w', som icke ligger inom någondera se- 

 riens konvergensområde, så består det gemensamma konvergens- 

 området af flera än ett kontinuerligt sammanhängande stycken. 



Ty kunde man komma kontinuerligt från (uq, v^) till 

 {u\v') genom (u^,v^), (u2-,V2), . . • {un,Vn), så skulle ett ställe 

 {um,v„i) vara det första, för hvilket någondera af olikheterna 

 Um'^a eller u,„ ^ /? egde rum. Vore t. ex. det första fallet, 

 så hade man 



Um'^CC, V,n-l>ß, 



hvaraf skulle följa, att stället {a,ß) tillhörde konvergensorarådet 

 för G{x,y \a,h). 



Det föregående vinner större åskådlighet, om man ser saken 

 geometriskt och betraktar u och v såsom koordinater i ett rät- 

 linigt koordinatsystem. Konvergensområdet för serien G{x,y \ a, h) 

 (de punkter deraf nemligen, som tillhöra den betraktade rymden) 

 representeras då af ett sammanhängande stycke, begränsadt, 

 utom af den betraktade rymdens begränsning, af en sammanhän- 

 gande linie, hvars u- och u- koordinater aldrig växa samtidigt. 

 Konvergensområdet för G^{x,y\d,b') är likaledes ett samman- 



