22 piiraCtMÉn, konvergensomr. hos potensser.af tva variabler. 



hängande stycke, begränsadt af en sammanhängande linie sådan 

 att \a — a' I — u och \b — b'\ — v aldrig växa samtidigt, eller, 

 som är detsamma, sådan att « och v aldrig växa samtidigt. 

 Om dessa linier kan man för öfrigt utsäga ännu något mera, 

 men derom meralängre ned. 



Först ville jag nemligen verkligen framställa ett exempel på 

 två potensserier, som äro element af samma analytiska funktion 

 och hvilkas gemensamma konvergensoraråde icke utgör ett af ett 

 enda stycke bestående kontinuum. Låta vi att börja med be- 

 stämningen att de skola vara element af samma funktion falla, 

 så är intet lättare än att uppställa ett exempel. Ett sådant 

 bilda t. ex. serierna 



I + xy + 0^'^/)- + C-'*??/)^ + . . . 

 och 



1 +(,,._3)(^-2) + (.^-3)ny-2)- + ... 



Den förras konvergensområde begränsas vid den geometriska 

 framställningen af den tvådimensionala rymden (u,v) af hyper- 

 beln itv = 1 (nemligen den del af hyperbelbågen, som tillhör 

 nämnda rymd), den senares af hyperbeln (3 — m) (2 — v) = 1. 

 Man ser genast, att det gemensamma konvergensområdet utgöres 

 af två skilda kontinua. 



För att finna ett exempel, der potensserierna äro element 

 af samma analytiska funktion, vill jag först bestämma kon- 

 vergensområdet för utvecklingen efter hela positiva potenser af 

 X och t/ af 



1 + (3 — a;) (2 — 2/) 7 — 2x — dy + xy' 



Äro B och 7] positiva storheter, sådana att ett ställe (■v,^/), 

 för hvilket |.^•| = B, \y\ ^ i], ligger på gränsen af konvergens- 

 omi'adet, så måste man på grund af kända satser ha 



7 — 2x — 3?/ + 'ty = O 

 för åtminstone ett värdesystem (tt',//) sådant att |,.*'| — t, |?/| — t], 



men d(.>reuiot 



I 7 — 2.?; — 3?/ + .XI/ I > O , 

 så snart 



